螺旋錐齒輪是核心傳動元件，廣泛應(yīng)用于車輛、飛機(jī)和船舶等裝備。在傳遞動力的過程中，傳動系統(tǒng)受載變形會導(dǎo)致齒輪副的嚙合狀態(tài)產(chǎn)生偏移，影響齒輪副的傳動性能。通常要結(jié)合齒輪副的嚙合錯(cuò)位結(jié)果開展齒面設(shè)計(jì)與修形。因此快速準(zhǔn)確分析傳動系統(tǒng)的嚙合錯(cuò)位情況，對評估齒輪副的加載嚙合性能和優(yōu)化齒面設(shè)計(jì)非常重要。
國內(nèi)外學(xué)者對齒輪傳動系統(tǒng)的嚙合錯(cuò)位量分析方法進(jìn)行了大量的研究。王欽等建立了多支撐軸系耦合分析模型，綜合考慮軸承剛度、齒輪、軸和殼體的影響求解齒輪嚙合錯(cuò)位量，并通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。高潔等綜合考慮了機(jī)匣、軸系及軸承的支撐變形對齒輪軸線偏移的影響對當(dāng)量錯(cuò)位量疊加，在此基礎(chǔ)上對弧齒錐齒輪齒面修形。覃秋霞等考慮了機(jī)匣的加工誤差、軸承的過盈配合等因素建立嚙合錯(cuò)位量計(jì)算模型，基于計(jì)算結(jié)果對弧齒錐齒輪齒面進(jìn)行設(shè)計(jì)，用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證嚙合錯(cuò)位后的印痕和傳動誤差。賴長發(fā)等借助 Masta 軟件建立了驅(qū)動主減速器的仿真分析模型計(jì)算螺旋錐齒輪的嚙合錯(cuò)位量，將仿真分析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)作對比。然而為了快速獲得計(jì)算結(jié)果，上述研究在分析傳動軸的變形時(shí)，大多將傳動軸簡化為梁單元模型。但這種簡化處理忽略了歐拉梁、鐵木辛柯梁理論推導(dǎo)的假設(shè)條件，當(dāng)傳動軸結(jié)構(gòu)復(fù)雜時(shí)，其變形分析結(jié)果可能會產(chǎn)生較大的誤差，導(dǎo)致齒輪傳動系統(tǒng)的嚙合錯(cuò)位量計(jì)算不準(zhǔn)確，從而影響齒面優(yōu)化設(shè)計(jì)效果。
針對以上問題，本文提出一種基于實(shí)體有限元法的分步螺旋錐齒輪傳動系統(tǒng)嚙合錯(cuò)位分析方法。該方法考慮軸承剛度和齒輪嚙合力的影響，采用實(shí)體有限元模型進(jìn)行傳動軸的變形分析保證齒輪副嚙合錯(cuò)位量計(jì)算的準(zhǔn)確性，以此為基礎(chǔ)建立包含嚙合錯(cuò)位影響的輪齒加載接觸分析以大幅度提高計(jì)算分析效率。
一、齒輪副嚙合錯(cuò)位量計(jì)算
嚙合錯(cuò)位量的定義
齒輪傳動系統(tǒng)包括軸、軸承和齒輪等零件，且結(jié)構(gòu)復(fù)雜。傳動系統(tǒng)工作時(shí)，齒輪副的嚙合力傳遞到軸和軸承上，導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生變形，從而使齒輪的相對安裝位置發(fā)生偏移。齒輪副在載荷作用下安裝位置的偏移量即為齒輪副的嚙合錯(cuò)位量，如圖 1 所示。
軸交錯(cuò)點(diǎn)變形前為 O、Q，變形后為A、B 。齒輪軸線變形前用細(xì)實(shí)線表示，理論變形后用點(diǎn)劃線表示，ROA、ROB、ROQ 是點(diǎn)O 到 A、B、Q的向量。軸交錯(cuò)點(diǎn)的偏移矢量為
將其分解到初始齒輪坐標(biāo)系中，則嚙合錯(cuò)位量的計(jì)算公式為
式中：?P為齒輪副沿小輪軸向的相對位移量;?W 為沿大輪軸向的相對位移量;?E為沿偏置方向的相對位移量;?Σ為沿軸交角方向的相對變化量;i、j、k為初始坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸的單位矢量;θ1、θ2 為變形前后的軸交角。
嚙合錯(cuò)位量的計(jì)算方法
圖 2 所示為齒輪副嚙合錯(cuò)位量的計(jì)算原理圖。初始坐標(biāo)系Σq = {O; x, y,z} x、y、z為X、Y、Z軸的矢量;彎矩坐標(biāo)系Σqy = {O; x ′, y ′,z ′} x ′、y ′、z為X ′、 Y ′、Z ′軸的矢量。
P、G 是變形前小、大齒輪齒寬中點(diǎn)在齒輪軸線上的投影點(diǎn)。受載變形后點(diǎn) P、G 變成了點(diǎn)P ′、G ′ ，δP、δW分別是點(diǎn) P到P ′ 以及G 到 G ′ 的距離。實(shí)際變形后軸線變成曲線用點(diǎn)劃線表示，在點(diǎn)P ′、G ′處分別作兩條曲線的切線，其方向向量為s1 和 s2。則兩個(gè) 方向向量的法矢 n 為
設(shè)s3 是點(diǎn) P ′ 和 G ′連線的矢量，設(shè)向量 s1和 s2之間的距離為lE 和角度為θS ，計(jì)算公式為
設(shè)小輪等效軸線上點(diǎn)A 與 P ′之間的距離為lP2，則建立包含 lP2 的方程表達(dá)式為
式中：ROP′為點(diǎn)O 和 P ′連線的矢量。
構(gòu)建包含向量 s2 和法向量 n 的平面，其中點(diǎn) A、B、G ′ 在該平面內(nèi)，則RG′A 滿足
式中：ROG′ 為點(diǎn)O 和G′ 連線的矢量;RG′A 為點(diǎn)G ′ 和 A 連線的矢量。
設(shè)大輪等效軸線上點(diǎn)B 與 G ′ 之間的距離為 lW2，計(jì)算公式為
將系統(tǒng)變形前后的參數(shù)疊加，獲得齒輪副的嚙合錯(cuò)位量。
式中：RQP 為點(diǎn) Q和 P連線的矢量;ROG為點(diǎn)O 和 G 連線的矢量。
二、不同計(jì)算模型的傳動軸變形分析對比
傳動軸的受載變形是導(dǎo)致齒輪副嚙合錯(cuò)位的主要影響因素，因此準(zhǔn)確計(jì)算傳動軸的變形量至關(guān)重要。傳動軸大多簡化為梁單元模型，其變形分析原理如圖 3 所示。
根據(jù)傳動軸的截面情況將其分段，用兩個(gè)節(jié)點(diǎn)和一個(gè)梁單元表示相同截面的軸段。整根傳動軸則可表示為由若干個(gè)不同截面的梁單元組合，其節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)比單元個(gè)數(shù)多 1。每個(gè)節(jié)點(diǎn)包含 6 個(gè)自由度， 因此每個(gè)相同截面的梁單元可以用一個(gè) 12×12 的剛度矩陣表示。
將整根傳動軸中每一段兩節(jié)點(diǎn)的梁單元?jiǎng)偠染仃囘M(jìn)行疊加，得到整根傳動軸的總剛度矩陣如下：
式中：K(n−1)n為 2×2 的剛度矩陣;矩陣 K(n−1)n包含
是節(jié)點(diǎn) (n−1)和 n所在梁單元中在節(jié)點(diǎn) n−1處的剛度;
為節(jié)點(diǎn)n處的剛度;A(n−1)n、An(n−1)為耦合剛度，且每個(gè)剛度都是 6×6 的矩陣，其余剛度以此類推。
根據(jù)力與變形之間的關(guān)系，構(gòu)建梁的力平衡方程如下：
式中：Fn 為節(jié)點(diǎn)n處的載荷子矩陣;δn為變形子矩陣，兩者都為 6×6 的矩陣。
已知外力和總剛度矩陣，通過平衡方程計(jì)算出梁單元在各節(jié)點(diǎn)上的變形量。
以某個(gè)復(fù)雜傳動軸為例，首先根據(jù)傳動軸的軸段數(shù)量來確定梁單元的初始節(jié)點(diǎn)數(shù)目，然后以載荷施加位置、邊界條件及軸的變形提取位置進(jìn)一步增加節(jié)點(diǎn)數(shù)量，最后通過這些節(jié)點(diǎn)去建立完整的梁單元模型如圖 4 所示。節(jié)點(diǎn) 2 和節(jié)點(diǎn) 16 是支撐位置。節(jié)點(diǎn) 5～節(jié)點(diǎn) 9 是位移變形量的提取位置，節(jié)點(diǎn) 7 為載荷施加位置，其余節(jié)點(diǎn)是軸段的分界位置。
軸的材料為 20CrMnTi，泊松比為 0.3。在節(jié)點(diǎn) 7 處施加 3 個(gè)方向上的集中力，分別為 1 700、1 200、2 000 N。在節(jié)點(diǎn) 2 和節(jié)點(diǎn) 16 處添加邊界條件，需要約束除了軸線回轉(zhuǎn)方向之外的其余 5 個(gè)自由度。
為了對比不同模型分析軸變形的誤差情況。同時(shí)按照圖 4 的結(jié)構(gòu)去構(gòu)建軸的實(shí)體有限元模型，其材料、受力情況以及邊界條件與梁單元模型的設(shè)置相同。通過靜力學(xué)分析得到兩種計(jì)算模型傳動軸的變形如圖 5 所示。
為了直觀地對比兩種模型的傳動軸變形情況，提取軸線上節(jié)點(diǎn)的變形量，見表 1。
由表 1 可知，采用梁單元模型計(jì)算的傳動軸變形量在各方向上與實(shí)體有限元模型相比均存在一定誤差，徑向方向(Xb、Yb)誤差約 13%～16%，沿軸線方向(Zb)誤差更大，約 30%。因此傳動軸結(jié)構(gòu)復(fù)雜時(shí)，不能用梁單元模型代替實(shí)體有限元模型去分析其受載變形情況。這種誤差可能來源于梁單元模型受載變形后的梁截面與軸線關(guān)系的假設(shè)。
三、分步式嚙合錯(cuò)位分析模型
綜上所述，采用梁單元模型計(jì)算傳動軸受載變形會在各方向上產(chǎn)生較大誤差。為了提高變形分析的準(zhǔn)確度，有學(xué)者研究通過實(shí)體有限元構(gòu)建包含傳動軸、齒輪以及軸承的傳動系統(tǒng)全有限元模型，通過接觸對定義齒面的嚙合關(guān)系進(jìn)行系統(tǒng)嚙合錯(cuò)位的分析。這種方法能較好地提高計(jì)算精度，但是網(wǎng)格數(shù)量多，劃分困難，非常耗費(fèi)計(jì)算資源。為了保證計(jì)算分析的準(zhǔn)確性，同時(shí)提高計(jì)算效率，本文提出一種基于實(shí)體有限元法的分步螺旋錐齒輪傳動系統(tǒng)嚙合錯(cuò)位分析方法：僅將傳動軸構(gòu)建為實(shí)體有限元模型，軸承等效為剛度矩陣耦合于傳動軸上;將齒輪副傳遞的載荷等效為嚙合力;采用靜力學(xué)有限元法分析傳動軸變形，進(jìn)而計(jì)算齒輪副的嚙合錯(cuò)位量;根據(jù)嚙合錯(cuò)位量構(gòu)建輪齒的加載接觸分析模型分析齒面的接觸偏移情況。
傳動軸耦合分析模型
首先建立包含軸承影響的傳動軸變形耦合分析模型，如圖 6 所示。依據(jù)傳動軸不同軸段去劃分網(wǎng)格，為了減少網(wǎng)格數(shù)量，全部劃分為六面體單元。再根據(jù)軸承安裝位置、嚙合力施加位置以及變形量提取位置對網(wǎng)格進(jìn)行調(diào)整。
圖 6 中軸段 1～5 為軸承安裝位置，將這些軸段上軸承等效受力點(diǎn)處建立導(dǎo)向點(diǎn)，并將軸承與對應(yīng)軸段上表面網(wǎng)格進(jìn)行耦合。考慮軸承的彈性特征可以用彈簧來等效。每個(gè)導(dǎo)向點(diǎn)會通過 5 個(gè)彈簧約束其除回轉(zhuǎn)方向之外的 5 個(gè)運(yùn)動自由度，每個(gè)導(dǎo)向點(diǎn)在各方向彈簧的剛度由軸承的剛度矩陣中主對角元的數(shù)值確定。
軸段 6 和軸段 7 為大、小齒輪安裝位置，在該軸段需要施加齒輪嚙合力，同時(shí)需要提取傳動軸受載變形量。通常將齒寬中部的節(jié)點(diǎn)位置定義為接觸區(qū)的中心位置。若將嚙合力施加在傳動軸上時(shí)，會在齒寬中點(diǎn) P 處切割出一個(gè)軸截面(P 點(diǎn)的位置如圖 6 所示)，在軸心位置建立導(dǎo)向點(diǎn)并與截面耦合，并在該導(dǎo)向點(diǎn)上添加嚙合力和彎矩。另外將該軸段等分切割成若干個(gè)子軸段，按照從左到右的順序依次在軸心位置建立若干個(gè)導(dǎo)向點(diǎn)并與對應(yīng)的軸截面耦合。通過以上處理，齒輪在安裝位置的變形可由各導(dǎo)向點(diǎn)的位移表示。
等效嚙合力計(jì)算
為了減少齒面接觸分析的計(jì)算量，將齒輪接觸作用等效為嚙合力。根據(jù)傳動扭矩計(jì)算節(jié)點(diǎn)處的切向力Fmt，考慮螺旋錐齒輪參數(shù)進(jìn)一步計(jì)算出軸向力 Fax和徑向力 Frd。以上計(jì)算的嚙合力是作用在齒面上的，而 3.1 節(jié)所述的計(jì)算模型其嚙合力作用于軸線上。力的作用點(diǎn)改變后需要采用力的平移定理重新計(jì)算載荷。其中徑向力朝著軸心位置平移不產(chǎn)生彎矩，切向力產(chǎn)生繞軸線回轉(zhuǎn)方向的彎矩不影響變形，軸向力產(chǎn)生其余方向彎矩會影響變形。
小輪坐標(biāo)系 ΣP={Q; xP, yP, zP}與初始坐標(biāo)系 Σq 在 z 方向的距離為偏置距，xP 是小輪回轉(zhuǎn)軸，小輪軸向力產(chǎn)生 zP 方向的彎矩：
當(dāng)齒輪副的偏置距為 0 時(shí)，大輪的彎矩計(jì)算方式與小輪相同。但偏置距不為 0 時(shí)，大輪軸向力產(chǎn) 生彎矩的方向與 z 方向有一定的角度，則在大輪軸心導(dǎo)向點(diǎn)處的彎矩坐標(biāo)系Σqy 與嚙合力坐標(biāo)系Σq 不同。為了避免在同一個(gè)導(dǎo)向點(diǎn)施加嚙合力和彎矩需要添加兩個(gè)不同的坐標(biāo)系問題，以彎矩坐標(biāo)系Σqy 為主，將切向力和徑向力分解到坐標(biāo)系Σqy 中，計(jì)算公式為
式中：FX′、FZ' 為坐標(biāo)系Σqy 中 x ′與 z'方向的力;MZ ′ 為 z'方向的彎矩。
在小輪坐標(biāo)系 ΣP中齒寬中點(diǎn)所在軸截面的導(dǎo)向點(diǎn)處施加嚙合力與彎矩;在大輪坐標(biāo)系 Σqy 中齒寬中點(diǎn)所在軸截面的導(dǎo)向點(diǎn)處施加嚙合力與彎矩。
考慮嚙合錯(cuò)位的輪齒加載接觸分析
將 3.2 節(jié)計(jì)算的等效嚙合力代入 3.1 節(jié)所述的傳動軸變形耦合分析模型，導(dǎo)出該模型中傳動軸軸線上多個(gè)導(dǎo)向點(diǎn)的位移變形量，將其代入 1.2 節(jié)的公式求出系統(tǒng)的嚙合錯(cuò)位量。通過嚙合錯(cuò)位量去調(diào)整多齒嚙合模型中齒輪的位置及姿態(tài)。首先將大輪沿著全局坐標(biāo)系的Y 軸移動?W，然后以大輪為基準(zhǔn)將小輪分別沿著局部坐標(biāo)系的 X1、Z1軸分別移動 ?P、?E，最后將小輪繞軸 Y1旋轉(zhuǎn) ?Σ，從而構(gòu)建出包含嚙合錯(cuò)位的輪齒加載接觸分析模型，如圖 7 所示。
輪齒齒面通過接觸對建立嚙合作用。在大小齒輪寬中部的軸線中心建立載荷作用參考點(diǎn)，分別與齒輪的輪轂面建立耦合作用以便施加載荷。大輪參考點(diǎn)施加工作扭矩，小輪參考點(diǎn)施加轉(zhuǎn)角，同時(shí)約束除齒輪回轉(zhuǎn)自由度外的其余自由度。采用靜力分析方法進(jìn)行計(jì)算，則可獲得某嚙合瞬時(shí)齒面的接觸狀態(tài)以及齒輪的實(shí)際轉(zhuǎn)角。改變小輪轉(zhuǎn)角進(jìn)行多步計(jì)算，則可得整個(gè)嚙合過程中齒輪副的加載傳動誤差及接觸印痕。
四、計(jì)算實(shí)例
嚙合錯(cuò)位量計(jì)算對比
為了檢驗(yàn)本文提出的實(shí)體有限元法分步螺旋錐齒輪傳動系統(tǒng)嚙合錯(cuò)位分析方法的準(zhǔn)確性，以某客車驅(qū)動橋?yàn)槔M(jìn)行齒輪副嚙合錯(cuò)位分析。其中螺旋錐齒輪基本參數(shù)見表 2。
齒輪副的額定工作扭矩為 15 000 N·m，利用 3.2 節(jié)所述的計(jì)算公式得到嚙合力和彎矩計(jì)算結(jié)果，見表 3。
參考多支撐軸系中軸承單元?jiǎng)偠扔?jì)算公式[11] 計(jì)算傳動系統(tǒng)中軸承剛度矩陣，導(dǎo)出各軸承剛度矩陣中在主對角元上的數(shù)值，見表 4。
采用上述參數(shù)與傳動軸圖紙可以建立傳動軸耦合分析有限元模型，計(jì)算獲得傳動軸的變形量及齒輪副的嚙合錯(cuò)位量。同時(shí)建立圖 8 所示的傳動系統(tǒng)全有限元模型與本文方法做對比分析。由于齒輪與傳動軸結(jié)合部位六面體網(wǎng)格劃分困難，因此輪齒部分采用四面體進(jìn)行網(wǎng)格劃分。該模型中的材料屬性、傳動軸的設(shè)置方式與 3.1 節(jié)所述模型相同。齒面嚙合作用參考 3.3 節(jié)接觸對設(shè)置。添加邊界條件時(shí)，需注意在施加工作扭矩和轉(zhuǎn)角的參考點(diǎn)處約束自由度，除了軸線回轉(zhuǎn)自由度外，其余自由度將由軸承的等效彈簧約束。
同時(shí)以梁單元構(gòu)建傳動系統(tǒng)模型進(jìn)行系統(tǒng)的嚙合錯(cuò)位分析，分別提取三種模型傳動軸軸線上節(jié)點(diǎn)處的變形量。其中全有限元模型齒輪嚙合位置是時(shí)刻變化的，因此提取五齒模型中第三齒在節(jié)點(diǎn)嚙合時(shí)的變形量。最終繪制出傳動軸的變形結(jié)果，如圖 9 所示。
對比分析梁單元模型與全有限元模型的傳動軸變形結(jié)果，其平均誤差輸入軸約為 12.4%、輸出軸約為 10.2%。比較實(shí)體有限元傳動軸耦合分析模型與全有限元模型的傳動軸變形結(jié)果，其平均誤差輸入軸約為 1.9%、輸出軸約為 1.2%。考慮到梁單元計(jì)算結(jié)果誤差較大，將傳動軸的變形量代入 1.2 節(jié) 的計(jì)算公式得到錯(cuò)位量，見表 5。
由表 5 可知，傳動軸耦合分析模型與全有限元模型的嚙合錯(cuò)位量誤差在 2.5% 以內(nèi)。
加載印痕和傳動誤差對比
將每一嚙合瞬時(shí)的齒面接觸位置的應(yīng)力提出疊加到齒面上可獲得齒面的加載接觸印痕，本文所述方法計(jì)算的加載印痕如圖 10a 所示，全有限元模型計(jì)算的加載印痕如圖 10b 所示，兩者的傳動誤差結(jié)果如圖 11 所示。
由圖 11 可知，分步螺旋錐齒輪傳動系統(tǒng)嚙合錯(cuò)位分析方法得到的加載印痕與全有限元模型計(jì)算的加載印痕位置及形狀均一致，僅在齒寬方向有細(xì)微差異，其加載傳動誤差曲線形態(tài)吻合，幅值偏差在 1.3% 左右。
分步螺旋錐齒輪傳動系統(tǒng)嚙合錯(cuò)位分析方法分為兩部分：傳動軸耦合變形分析模型部分的網(wǎng)格數(shù)約為 18.5 萬;考慮嚙合錯(cuò)位的輪齒加載接觸分析模型網(wǎng)格數(shù)約為 80.4 萬(齒面接觸部分網(wǎng)格大小為 0.2 mm)。全有限元模型網(wǎng)格數(shù)量約為 308 萬(齒面接觸部分網(wǎng)格大小為 0.4 mm)。統(tǒng)計(jì)兩種分析模型的計(jì)算時(shí)間，見表 6。
由表 6 可知，分步螺旋錐齒輪傳動系統(tǒng)嚙合錯(cuò)位分析方法的分析時(shí)間相比全有限元模型大幅減少。若將全有限元模型的齒面網(wǎng)格劃分為 0.2 mm，則分析時(shí)間還將進(jìn)一步增加。
五、結(jié)語
針對傳動軸結(jié)構(gòu)復(fù)雜時(shí)采用梁單元模型求解軸的變形差異較大，會導(dǎo)致齒輪副嚙合錯(cuò)位分析不準(zhǔn)確的問題，本文提出一種基于實(shí)體有限元法的分步螺旋錐齒輪傳動系統(tǒng)嚙合錯(cuò)位分析方法。通過理論研究以及仿真分析得出以下結(jié)論：
(1)傳動軸模型結(jié)構(gòu)復(fù)雜時(shí)，采用梁單元模型求解軸的受載變形與實(shí)體有限元模型計(jì)算結(jié)果存在較大誤差。
(2)提出的基于實(shí)體有限元模型的傳動軸變形耦合分析模型，綜合考慮了齒輪嚙合力作用以及傳動軸結(jié)構(gòu)柔性與軸承支撐柔性耦合狀況，能夠更為準(zhǔn)確地分析螺旋錐齒輪傳動系統(tǒng)傳動軸的受載變形情況。
(3)提出的基于實(shí)體有限元法的分步螺旋錐齒輪傳動系統(tǒng)嚙合錯(cuò)位分析方法能夠準(zhǔn)確分析齒輪副的加載印痕及傳動誤差，在保證計(jì)算精度的同時(shí)，計(jì)算效率明顯提升。
參考文獻(xiàn)略.