針對大螺旋角面齒輪展成加工的難題，提出并研究一種車齒法數(shù)控加工螺旋齒面齒輪的技術(shù)。根據(jù)空間交錯(cuò)軸齒輪嚙合理論，建立了螺旋齒面齒輪車齒法的理論加工模型，研究了車齒法加工面齒輪的自由度，建立了車齒切削中刀具和工件的展成運(yùn)動，推導(dǎo)了車齒加工的嚙合方程、螺旋齒面齒輪工作齒面方程。在基礎(chǔ)上，構(gòu)建了車齒法螺旋齒面齒輪數(shù)控加工模型，根據(jù)螺旋齒面齒輪車齒理論坐標(biāo)系與數(shù)控車齒坐標(biāo)系的對應(yīng)關(guān)系，推導(dǎo)出螺旋齒面齒輪數(shù)控車齒中的兩個(gè)回轉(zhuǎn)運(yùn)動和三個(gè)直線移動的運(yùn)動參數(shù)。對螺旋齒面齒輪進(jìn)行數(shù)控車齒仿真，獲得了僅在小端齒根處存在5.6μm誤差的高精度螺旋齒面齒輪模型，驗(yàn)證了螺旋齒面齒輪數(shù)控車齒加工技術(shù)的可行性。

　　螺旋齒面齒輪傳動是一種斜齒圓柱齒輪與面齒輪相嚙合的傳動形式，具有承載能力強(qiáng)、重合度大、結(jié)構(gòu)緊湊、傳動穩(wěn)定性好、安裝簡單等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于航空航天、機(jī)器人、汽車等高端機(jī)械裝備的傳動裝置。但因螺旋齒面齒輪齒面結(jié)構(gòu)復(fù)雜，傳統(tǒng)的直齒面齒輪展成制齒技術(shù)已不能滿足螺旋齒面齒輪的加工要求。

　　面齒輪加工時(shí)與普通圓柱齒輪和圓錐齒輪都不同，加工位置是在圓柱毛坯的端面，不在圓柱毛坯的側(cè)面，故只能在專用機(jī)床上進(jìn)行加工，無法直接在現(xiàn)有機(jī)床上進(jìn)行，且因面齒輪齒形比較復(fù)雜，齒厚沿齒寬方向不均勻變化，這限制了面齒輪必須采用展成法加工，而不能像普通圓柱齒輪一樣采用仿形法加工。因此，自上世紀(jì)九十年代，基于圓柱齒輪和面齒輪嚙合傳動原理，將圓柱齒輪假想為插齒刀具，則直齒面齒輪的插齒過程就相當(dāng)于圓柱齒輪和面齒輪的嚙合傳動過程。國內(nèi)外學(xué)者對直齒面齒輪的插齒加工方法、面齒輪插齒裝備的制造，嚙合性能分析等方面進(jìn)行了深入的研究，獲得了豐富的研究成果，建立了完善的直齒面齒輪設(shè)計(jì)、分析理論體系和插齒制造工藝技術(shù)。后續(xù)研究中，將上述插齒刀具作為產(chǎn)形輪，Litvin提出了采用蝸桿滾刀/ 砂輪切削面齒輪的方法，研究了面齒輪蝸桿刀具滾齒/磨齒的原理，通過構(gòu)建的蝸桿刀具的數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)了蝸桿刀具能夠?qū)崿F(xiàn)連續(xù)滾、磨削加工直齒面齒輪的條件?；谖仐U刀具加工面齒輪技術(shù)，國內(nèi)外學(xué)者圍繞數(shù)控磨齒機(jī)床和刀具的設(shè)計(jì)制備、蝸桿砂輪修整、切削工藝與檢測方法等方面作了比較廣泛而細(xì)致的研究，獲得了大量的理論和實(shí)踐成果。但蝸桿刀具設(shè)計(jì)、制造工藝復(fù)雜，且不具有通用性, 形成的直齒面齒輪加工的理論和技術(shù)，并不能適用于螺旋齒面齒輪齒面展成加工的要求。

　　齒輪車齒是采用曲面共軛原理成形齒輪齒面的一種嚙合加工方法。在齒輪車齒切削中，車齒刀相對于工件齒面做雙自由度嚙合展成運(yùn)動，最終共軛包絡(luò)出齒輪齒面。國內(nèi)外專家學(xué)者對圓柱內(nèi)齒輪車齒切削原理、機(jī)床和車齒刀具設(shè)計(jì)制造，以及切屑成形機(jī)理等基本理論進(jìn)行了深入的研究，為后續(xù)齒輪車齒技術(shù)發(fā)展、車齒刀具的設(shè)計(jì)奠定了重要的理論基礎(chǔ)。Zhengyang Han等人提出并研究了車齒切削直齒面齒輪的方法，構(gòu)建了直齒面齒輪車齒切削的理論模型，在六軸聯(lián)動數(shù)控機(jī)床上開展了直齒面齒輪車齒實(shí)驗(yàn)，并研究了面齒輪車齒中齒面修正方法。

　　本文在前期車齒法加工螺旋齒面齒輪理論方法研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)行車齒法加工螺旋齒面齒輪數(shù)控仿真技術(shù)的研究，通過構(gòu)建的螺旋齒面齒輪車齒法的理論加工模型和數(shù)控加工模型，推導(dǎo)了螺旋齒面齒輪數(shù)控車齒中的兩個(gè)回轉(zhuǎn)運(yùn)動和三個(gè)直線移動的運(yùn)動參數(shù)。仿真了螺旋齒面齒輪的數(shù)控車齒過程，進(jìn)行了工件切削仿真結(jié)果的誤差分析，為車齒法數(shù)控加工螺旋齒面齒輪奠定了工藝基礎(chǔ)。

　　一、螺旋齒面齒輪理論齒面設(shè)計(jì)

　　螺旋齒面齒輪的理論齒面是由工作齒面和過渡齒面兩部分組成，如圖1所示，其工作齒面由假想的插齒刀齒面包絡(luò)而成，過渡曲面由插齒刀的齒頂掃略而成。圖2給出了插齒加工時(shí)假想的插齒刀具與工件之間的運(yùn)動關(guān)系。其中，插齒刀繞其軸線以轉(zhuǎn)速 ω_t 轉(zhuǎn)動，螺旋齒面齒輪則繞其軸線以轉(zhuǎn)速 ω_c 轉(zhuǎn)動，兩轉(zhuǎn)速的關(guān)系為，

　　式中，N_c 和 N_t 分別為面齒輪和假想的插齒刀的齒數(shù)，i_ct為兩構(gòu)件的傳動比。

圖1 螺旋齒面齒輪齒面結(jié)構(gòu)圖

圖2 螺旋齒面齒輪插齒加工原理圖

　　設(shè)r_t(μ_t，θ_t)表示在S_t 坐標(biāo)系中插齒刀的齒面方程，M_ct為插齒刀固聯(lián)坐標(biāo)系S_t 到面齒輪固聯(lián)坐標(biāo)系S_c 的齊次坐標(biāo)變換矩陣，則在S_c 坐標(biāo)系中，插齒刀齒面掃略出的曲面族方程為：

　　式中φ_t為展成過程刀具的轉(zhuǎn)角，θ_t 和μ_t 為刀具齒面參數(shù)。

　　根據(jù)共軛原理，將式(2)與插齒加工螺旋齒面齒輪嚙合方程f(μ_t，θ_t，?_t)聯(lián)立，即可得螺旋齒面齒輪在坐標(biāo)系中的工作齒面方程，

　　螺旋齒面齒輪的過渡齒面由插齒刀齒頂掃略而成，螺旋齒面齒輪在坐標(biāo)系S_c 中的過渡曲面方程為：

　　其中，θ_t^* 為刀具齒頂?shù)亩ㄖ祬?shù)。

　　二、螺旋齒面齒輪理論車齒法建模

　　建立車齒刀、假想的產(chǎn)形輪與螺旋齒面齒輪的安裝布局關(guān)系，以及車齒中嚙合運(yùn)動，進(jìn)而構(gòu)建螺旋齒面齒輪車齒加工理論模型。

　　車齒刀、假想的產(chǎn)形輪和螺旋齒面齒輪的安裝布局

　　直齒車齒刀車螺旋齒面齒輪的安裝布局如圖3所示三個(gè)構(gòu)件在同一瞬時(shí)點(diǎn)接觸，在接觸點(diǎn)處的齒線方向上, 車齒刀具和被切工件之間存在相對運(yùn)動速度，為了實(shí)現(xiàn)車齒的滾插動作，車齒刀具的軸線與產(chǎn)形輪軸線必須空間相互偏斜一個(gè)角度γ，這是螺旋齒面齒輪車齒加工得以實(shí)現(xiàn)的前提。其中，γ由假想的產(chǎn)形輪的螺旋角β和刀具螺旋角決定。如車齒刀齒是直齒，則車齒刀回轉(zhuǎn)軸線zg與產(chǎn)形輪回轉(zhuǎn)軸線zs空間夾角γ 為，

　　

圖3 面齒輪的車齒的理論模型

　　車齒加工運(yùn)動分析

　　運(yùn)用錐形車齒刀具車削面齒輪的整個(gè)過程中，為了車削出面齒輪整個(gè)齒面 ∑₂ ，車齒刀具相對于面齒輪需做兩個(gè)相對獨(dú)立的運(yùn)動：一是車刀與工件之間的展成運(yùn)動，即構(gòu)件2繞其自身軸線z₂ 以角速度ω₂ 旋轉(zhuǎn)，同時(shí)車刀繞其軸線z_s 以角速度ω_s 轉(zhuǎn)動；二是車刀沿產(chǎn)形輪軸線的進(jìn)給運(yùn)動，即為了車削出整個(gè)齒面，車齒刀具回轉(zhuǎn)一個(gè)嚙合周期后，其中心O_s需沿虛擬產(chǎn)形輪的軸線z_g平移一個(gè)距離l_g。因此，車齒螺旋齒面齒輪的過程是車齒刀回轉(zhuǎn)一個(gè)嚙合周期，刀具中心移動一次，直至切削出面齒輪整個(gè)齒面的過程。

　　車齒中，螺旋齒面齒輪與車齒刀具轉(zhuǎn)動關(guān)系為：

　　式中，N₂ 為螺旋齒面齒輪齒數(shù)，N_s 為車齒刀具齒數(shù)。

　　實(shí)際加工時(shí)要通過車齒刀具沿螺旋齒面齒輪的徑向連續(xù)進(jìn)給才能完成整個(gè)齒寬的加工。

　　圖4給出了某切削點(diǎn)處垂直于螺旋齒面齒輪軸向的投影，刀具進(jìn)給速度沿螺旋齒面齒輪齒線的法線方向會有一個(gè)速度分量v_s，這等價(jià)于車齒刀具在原有轉(zhuǎn)速ω_s 基礎(chǔ)上增加了一個(gè)轉(zhuǎn)速 Δω_s，其方向與ω_s 相同，大小為：

　　式中，v是車齒刀具沿螺旋齒面齒輪徑向方向的進(jìn)給速度；β是假想的產(chǎn)形輪的螺旋角；m 是直齒車齒刀的模數(shù)。

圖4 切削點(diǎn)速度在工件軸向的投影關(guān)系

　　轉(zhuǎn)速增量影響了車齒刀具與螺旋齒面齒輪原有的正確嚙合，可以通過車齒刀具或者螺旋齒面齒輪在原有轉(zhuǎn)動基礎(chǔ)上附加一個(gè)轉(zhuǎn)速以抵消車刀的轉(zhuǎn)速增量 Δω_s。若通過刀具附加轉(zhuǎn)速，則附加轉(zhuǎn)速方向應(yīng)與轉(zhuǎn)速增量方向相反，即 Δω_s 符號應(yīng)取“-”;若通過螺旋齒面齒輪附加轉(zhuǎn)速，則附加轉(zhuǎn)速方向應(yīng)與轉(zhuǎn)速增量方向相同，即 Δω₂ 符號應(yīng)取“+”。本文中將這個(gè)附加轉(zhuǎn)速疊加在螺旋齒面齒輪上，其大小為，

　　此時(shí)，螺旋齒面齒輪的轉(zhuǎn)速為，

　　螺旋齒面齒輪車齒加工坐標(biāo)系

　　以假想的產(chǎn)形輪法截面齒廓作為車刀刃形曲線，以假想的產(chǎn)形輪的當(dāng)量齒輪齒數(shù) N_s 作為車齒刀齒數(shù)，經(jīng)由刀具和工件的兩自由度車齒切削作用，可夠獲得高精度的螺旋齒面齒輪齒面。設(shè)車齒刀具切削刃形角度參數(shù)為θ_s，則刀具刃形矢量方程為，

　　根據(jù)車齒刀具、假想的產(chǎn)形輪和面齒輪的安裝布局，建立螺旋齒面齒輪車齒加工坐標(biāo)系如圖5所示，坐標(biāo)系 S_s(O_s，x_s，y_s，z_s)、S_g (O_g，x_g，y_g，z_g )、S₂(O₂，x₂，y₂，z₂)分別是與車齒刀具、假想的產(chǎn)形輪、螺旋齒面齒輪相固聯(lián)的動坐標(biāo)系，坐標(biāo)系 S_c(O_c，x_c，y_c，z_c)、S_p (O_p，x_p，y_p，z_p )、S_m (O_m，x_m，y_m，z_m)分別是與車齒刀具、產(chǎn)形輪、面齒輪相固聯(lián)的固定坐標(biāo)系，坐標(biāo)系S_b(O_b，x_b，_yb，z_b)與機(jī)架固定，是輔助坐標(biāo)系。圖中 E_gs為車齒刀軸線z_s 與產(chǎn)形輪軸線z_g 的距離，r_as是產(chǎn)形輪齒頂圓半徑。

圖5 螺旋齒面齒輪車齒加工坐標(biāo)系

　　由圖5可知，從坐標(biāo)系S_s 到坐標(biāo)系S₂ 的坐標(biāo)變換矩陣為，

　　式中，s是車齒刀具沿螺旋齒面齒輪徑向方向的進(jìn)給距離；φ_s 是車齒刀具繞軸轉(zhuǎn)動的角度，矩陣 M_2s表示坐標(biāo)系S_s 到坐標(biāo)系S_c 的坐標(biāo)變換矩陣，其余類推。

　　車齒刀具刃形曲線經(jīng)兩自由度車削運(yùn)動，可獲得在螺旋齒面齒輪坐標(biāo)系S₂ 中的曲面族，其方程r_2k表示為，

　　由包絡(luò)法可知，車刀刃形與螺旋齒面齒輪包絡(luò)條件為，

　　根據(jù)包絡(luò)條件，可將s表示為θ_s 和φ_s 的表達(dá)式，即

　　聯(lián)立式(12)和式(13)即得螺旋齒面齒輪的工作齒面方程為：

　　三、螺旋齒面齒輪數(shù)控車齒各軸運(yùn)動參數(shù)求解

　　考慮螺旋齒面齒輪車齒中的兩自由度展成關(guān)系，構(gòu)建了圖6所示的數(shù)控車齒模型，在該機(jī)床模型中有五個(gè)運(yùn)動軸，即沿 X軸、Y 軸、Z軸三個(gè)方向的移動、A 旋轉(zhuǎn)軸(繞 X 軸的轉(zhuǎn)動)和 C旋轉(zhuǎn)軸(繞 Z軸的轉(zhuǎn)動)五個(gè)運(yùn)動軸。其中X移動軸能夠?qū)崿F(xiàn)車齒刀具沿螺旋齒面齒輪軸線方向的進(jìn)給，Y軸和Z軸的功能類似，既控制起刀點(diǎn)的位置，同時(shí)也控制車齒刀具沿螺旋齒面齒輪徑向方向的連續(xù)進(jìn)給運(yùn)動。A軸、C軸分別控制著螺旋齒面齒輪的回轉(zhuǎn)和刀具回轉(zhuǎn)。

圖6 螺旋齒面齒輪數(shù)控車齒模型

　　圖7為螺旋齒面齒輪數(shù)控車齒機(jī)床上使用的坐標(biāo)系，其中坐標(biāo)系S_s(x_s，y_s，z_s)和S₂(x₂，y₂，z₂)分別是與車齒刀具和螺旋齒面齒輪相固聯(lián)的動坐標(biāo)系，坐標(biāo)系S_c(O_c，x_c，y_c，z_c)和S_m (O_m，x_m，y_m，z_m)分別是與車齒刀具和螺旋齒面齒輪相固聯(lián)的固定坐標(biāo)系，坐標(biāo)系S_f (x_f，y_f，z_f )是輔助坐標(biāo)系。坐標(biāo)系S_s(O_s，x_s，y_s，z_s)相對于坐標(biāo)系S_c(O_c，x_c，y_c，z_c)完成繞軸z_c 的回轉(zhuǎn)運(yùn)動，轉(zhuǎn)角為D₁，坐標(biāo)系S₂(x₂，y₂，z₂)相對于坐標(biāo)系S_m(x_m，y_m，z_m)完成繞軸z_m 的回轉(zhuǎn)運(yùn)動，轉(zhuǎn)角為 D₂。其中 D₃，D₄，D₅ 為調(diào)整機(jī)床各參考標(biāo)架之間初始相對位置的直線移動參數(shù)，D₆ 和 D₇ 是車齒刀具沿螺旋齒面齒輪徑向方向的連續(xù)進(jìn)給運(yùn)動參數(shù)。

圖7 數(shù)控車齒使用的坐標(biāo)系統(tǒng)

　　根據(jù)數(shù)控車齒坐標(biāo)系中車齒刀具相對于螺旋齒面齒輪的位置和方向，與在理論坐標(biāo)系中該工件車齒加工中位矢的對應(yīng)的關(guān)系，有，

　　式中，L_2s^(C) 是數(shù)控車齒齊次坐標(biāo)變換矩陣3×3子矩陣；L_2s^(G) 是理論車齒加工齊次坐標(biāo)變換矩陣3×3的子矩陣。

　　車齒刀具相對于螺旋齒面齒輪的位置對應(yīng)關(guān)系可以通過車齒刀具坐標(biāo)系到螺旋齒面齒輪坐標(biāo)系的原點(diǎn)位置矢量來保證，即

　　在數(shù)控車齒中，從車齒刀具刀尖到螺旋齒面齒輪車削點(diǎn)的齊次坐標(biāo)變換矩陣 M_2s^(C)為，

　　將M_2s(^C) 刪除最后一行和最后一列，得到3×3矩陣。同樣，在螺旋齒面齒輪理論車齒中，由圖5得到齊次坐標(biāo)變換矩陣 M_2s^(C) 為，

　　將 M_2s^(C) 刪除最后一行和最后一列，得到 3×3 矩陣L_2s^(G)。由式(9)可知，變量φ₂，s都與變量φ_s 相關(guān)，因此a_ij (i =1，2，3；j=1，2，3)均是關(guān)于變量φ_s 的函數(shù)，數(shù)控車齒機(jī)床的運(yùn)動參數(shù)為，

　　四、螺旋齒面齒輪數(shù)控車齒加工仿真

　　在螺旋齒面齒輪數(shù)控車齒切削中，工件和刀具分別以一定的角速度繞其回轉(zhuǎn)軸運(yùn)動，同時(shí)刀具沿螺旋齒面齒輪徑向方向以一定速度做連續(xù)進(jìn)給運(yùn)動。按照式(20)編制了數(shù)控仿真程序，螺旋齒面齒輪的車齒仿真過程及仿真結(jié)果如圖8、圖9所示。

圖8 螺旋齒面齒輪的車齒加工仿真過程　

圖9 車齒加工得到的螺旋齒面齒輪

　　將車齒仿真結(jié)果與面齒輪的理論設(shè)計(jì)模型對比分析，獲得數(shù)控車齒工件的過切和殘留，分析結(jié)果如圖10和圖11所示。可以看出，螺旋齒面齒輪車齒仿真齒面和理論齒面不存在過切，但過渡曲面存在少量的欠切現(xiàn)象。通過工作齒面誤差數(shù)據(jù)的定量分析看出，車齒仿真工作齒面和理論設(shè)計(jì)工作齒面的僅小端齒根部位存在5.6μm 加工誤差。

　　五、結(jié)論

　　在面齒輪車齒加工原理的基礎(chǔ)上，開展了螺旋齒面齒輪數(shù)控車齒加工仿真技術(shù)的研究，建立了數(shù)控車齒加工模型，推導(dǎo)了數(shù)控機(jī)床各軸的運(yùn)動參數(shù)，進(jìn)行了螺旋齒面齒輪數(shù)控車齒仿真,獲得的如下結(jié)論：

　　(1)根據(jù)螺旋齒面齒輪與斜齒圓柱齒輪嚙合傳動原理，通過虛擬插齒的方法推導(dǎo)了螺旋齒面齒輪的理論齒面。

　　(2)根據(jù)車齒刀具、假想的產(chǎn)形輪和螺旋齒面齒輪三構(gòu)件之間的瞬時(shí)共軛點(diǎn)接觸的嚙合關(guān)系，構(gòu)建了螺旋齒面齒輪車齒法加工的理論模型，得到了車齒中刀具和工件二者之間的安裝布局規(guī)律，并給出了車齒中兩構(gòu)件的展成運(yùn)動和進(jìn)給運(yùn)動。

　　(3)建立了車齒法成形螺旋齒面齒輪數(shù)控加工模型，推導(dǎo)出了螺旋齒面齒輪車齒加工過程中兩個(gè)回轉(zhuǎn)運(yùn)動和三個(gè)直線移動的運(yùn)動參數(shù)及數(shù)控機(jī)床各軸的運(yùn)動關(guān)系。

　　(4)運(yùn)用 VERICUT進(jìn)行了螺旋齒面齒輪數(shù)控車齒仿真，得到了僅在小端齒根處存有5.6μm 最大誤差的高精度螺旋齒面齒輪加工仿真模型，驗(yàn)證了車齒法數(shù)控加工螺旋齒面齒輪技術(shù)的可行性。

　　參考文獻(xiàn)略.